Пружинный маятник (ПМ) представляет собой груз, прикреплённый к невесомой упругой пружине тело, другой конец которой закреплён. Такое тело можно считать точечным (материальной точкой). ПМ - это модель, с помощью которой можно полностью охарактеризовать колебательное движение, возникающее под действием силы упругости пружины.

Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно (рис.), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению: 
F (t) = ma (t) = –m ω² x (t)

В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука: F_упр = – kx.

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими.

Круговая частота ω₀ свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона: 
откуда  

Частота ω₀ называется собственной частотой колебательной системы.

Период T гармонических колебаний груза на пружине равен 

При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры.

Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x₀, равную и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω₀ и периода колебаний T справедливы и в этом случае.

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и координатой x:  ускорение является второй производной координаты тела x по времени t: a(t) = x'' (t)Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде  ma = mx'' = - kx. Или x''+ ω²₀ x = 0, где 
Все физические системы (не только механические), описываемые этими уравнениями, способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида 

x = x_max cos (ωt + φ₀).

Это уравнение называется уравнением свободных колебаний. Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω₀ или период T. Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда xm и начальная фаза φ₀, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то x_max = Δl, φ₀ = 0.

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость  то ,  Таким образом, амплитуда x_max свободных колебаний и его начальная фаза φ₀ определяются начальными условиями.

Из формул видно что частота, циклическая частота и период колебаний ПМ зависят от массы тела и жёсткости пружины. Полная энергия колебаний прeжинного маятника есть величина постоянная: W = П_max = K_max = П + К

W - полная энергия системы, П_max = kx²₀ /2 - максимальная потенциальная энергия,

- максимальная кинетическая энергия.

При решении задач нужно помнить, что если колебания начинаются из иочки равновесия, то уравнения колебаний имеют вид

x(t) = x_max sin (ωt + φ₀),

v(t) = x'(t) = ωx_max cos (ωt + φ₀) = v_max cos (ωt + φ₀), где амплидуда скорости

колебаний v_max= ωx_max ,

a(t) = v'(t) = x''(t) = - ω²x_max sin (ωt + φ₀) = -ω v_max sin (ωt + φ₀) = - a_max sin (ωt +φ₀),

где амплидуда ускорения колебаний a_max = ω v_max = ω²x_max.

Если колебания начинаются из точки максимального отклонения, то уравнения имеют вид:

x(t) = x_max cos (ωt + φ₀).

v(t) = x'(t) = - ωx_max  sin(ωt + φ₀) = - v_max sin(ωt + φ₀), где амплидуда скорости

колебаний v_max= ωx_max ,

a(t) = v'(t) = x''(t) = - ω²x_maxcos(ωt + φ₀) = -ω v_maxcos(ωt + φ₀) = - a_maxcos(ωt +φ₀),

где амплидуда ускорения колебаний a_max = ω v_max = ω²x_max.

Во всех этих случаях φ₀ = 0 (т.е. только в том случае если колебания начинаются из точки равновесия или из точки максимального отклонения).

Если колебания совершаются на пружинном маятнике, состоящем из 2-х, 3-х...,N одинаковых пружин, соединённых параллельно, то общая жесткость такой системы будет k = k₁ N и период будет расчитываться по формуле .

Если колебания совершаются на пружинном маятнике, состоящем из 2-х, 3-х...,N одинаковых пружин, соединённых последовательно, то общая жесткость такой системы будет k = k₁ / N и период расчитывается по формуле. Если пружины имеют разную жесткость, то общую жёсткость можно вычислить по формуле.

Вернуться к конспектам урока