Средней скоростью  движения  называется  скорость,  с  которой  могло  бы  двигаться  тело,  если  бы  двигалось  равномерно. Рассмотрим среднюю путевую и среднюю скорость перемещения.
Средняя путевая скорость определяется как путь, который проходит тело за единицу времени.  $\text{<}\vartheta_п\text{>}=\dfrac{S}{\Delta t}$ - весь путь делить на всё врема, за которое этот путь пройден, при этом нужно помнить, путь это скалярная величина, значит весь путь находим как алгеброическую сумму отдельных участков пути.
Средняя скорость перемещения (движения) определяется как перемещение в единицу времени. $\text{<}\vartheta\text{>}=\dfrac{\Delta r}{\Delta t}$ - всё перемещение на всё время, за которое это перемещение было совершено. Так как перемещение это векторная величина, то при нахождении общего перемещения нужно учитывать правила сложения векторов.

а) Рассмотрим  движение  тела,   когда перемещения  происходят  с  разными  скоростями, но  за  равные  промежутки  времени: $t_1 = t_2 = t_3 =…$
Тогда,  по  определению

$\text{<}\vartheta\text{>} = \dfrac{\Delta r}{\Delta t} = \dfrac{\Delta r_1 + \Delta r_2 + \Delta r_3 + ...}{\Delta t_1 + \Delta t_2 + \Delta t_3 + ...} = \dfrac{\vartheta_1\Delta t_1 + \vartheta_2\Delta t_1 + \vartheta_3\Delta t_1}{N\Delta t_1} = \dfrac{(\vartheta_1 + \vartheta_2\ + \vartheta_3)\Delta t_1}{N\Delta t_1}$. 
Сократив  числитель,  и  знаменатель  на $\Delta t_1$  получим

$\text{<}\vartheta\text{>}=\dfrac{\vartheta_1 + \vartheta_2\ + \vartheta_3 + ...\vartheta_N}{N}$ Т. е., если тело проходит путь за одинаковые промежутки  времени но  с разными  скоростями, то  среднюю  скорость на  таком  пути  можно  определить как  сумму  скоростей делённую на  их  количество. При этом, если движение совершалось по прямой линии, то средняя путевая скорость и средняя скорость перемещения будут одинаковыми по величине.
б) Рассмотрим  движение когда,   двигаясь  с  разными  скоростями,   тело  совершает  равные  перемещения:
- например,  три  равных  промежутка $\Delta r_1 = \Delta r_2 = \Delta r_3$. Вывод аналогичный, но конечная формула примет вид:
$\text{<}\vartheta\text{>}=\dfrac{3\vartheta_1\vartheta_2\vartheta_3}{\vartheta_1\vartheta_2 + \vartheta_1\vartheta_3 + \vartheta_2\vartheta_3}$

-если    два  равных промежутка   $\Delta r_1 = \Delta r_2$, то
$\text{<}\vartheta\text{>}=\dfrac{2\vartheta_1\vartheta_2}{\vartheta_1 + \vartheta_2}$

- если  четыре  промежутка  $\Delta r_1 = \Delta r_2 = \Delta r_3 = \Delta r_4$
$\text{<}\vartheta\text{>}=\dfrac{4\vartheta_1\vartheta_2\vartheta_3\vartheta_4} {\vartheta_1\vartheta_2\vartheta_3 + \vartheta_1\vartheta_3\vartheta_4 + \vartheta_2\vartheta_3\vartheta_4 + \vartheta_1\vartheta_2\vartheta_4}$, (здесь можно увидеть закономерность для данного примера).

Данные примеры а) и б) приведены для случаев, когда движение тел происходит по прямолинейной траектории.

Для криволинейного движения надо использовать определения:

Средняя путевая $\text{<}\vartheta_п\text{>}=\dfrac{S}{\Delta t}$- весь путь делить на всё время, за которое этот путь пройден, при этом путь это скалярная величина, значит весь путь находим как алгеброическая сумма отдельных участков.
Средняя скорость перемещения (движения) $\text{<}\vartheta\text{>}=\dfrac{\Delta r}{\Delta t}$ - всё перемещение на всё время, за которое это перемещение было совершено. Так как перемещение это векторная величина, то при нахождении общего перемещения нужно учитывать правила сложения векторов.

Рассмортим примеры: 1) половину $t$ тело двигалось со $\vartheta_1$ = 5м/с, вторую половину $t$ – со скоростью $\vartheta_2$=7 м/с
$\text{<}\vartheta\text{>}=\dfrac{\vartheta_1 + \vartheta_2 + \vartheta_3 + ... + \vartheta_N}{N} = \dfrac{5+7}{2} = 6 \dfrac{\text{м}}{\text{с}}$
2) половину пути тело двигалось со скоростью 5м/с, вторую половину пути – 7 м/с.

$\text{<}\vartheta\text{>}=\dfrac{2\vartheta_1\vartheta_2}{\vartheta_1 + \vartheta_2} = \dfrac{2*5*7}{7+5} = \dfrac{70}{12} \approx 5.83 \dfrac{\text{м}}{\text{с}}$.

Чтобы не допустить ошибок, решение нужно начинать с формулы, определяющей среднюю скорость или среднюю путевую скорость.

Вернуться к конспектам урока