Сферическим зеркалом называется поверхность, имеющая форму сферического сегмента и зеркально отражающая свет. Сферические зеркала бывают вогнутыми и выпуклыми. Вершину сегмента называют полюсом зеркала (Р), а его центр – оптическим центром зеркала (О). Прямая ОР называется главной оптической осью, а все остальные (проходящие через точку О – побочными.

Пусть S - точечный источник света. Один из лучей, отразившись от зеркала в точке А пересечет главную оптическую ось в точке S₁. Если все остальные лучи пройдут через эту точку, то она будет являться изображением источника S. Радиус зеркала R=OA=OP. По закону отражения углы бетта и гамма равны (β = γ). Обозначим за d расстояние от источника до зеркала (SР), а f расстояние от зеркала до изображения (S₁P). Найдем связь между этими величинами для случая малого угла α (приосевые лучи). Тогда отрезок h тоже мал. Используется очень небольшой сегмент зеркала. Отрезок ВР пренебрежимо мал, тогда можно считать d = SB, f =S₁B.

. Отсюда следует, что α+θ = 2φ. Подставляя значение углов, получаем формулу сферического зеркала:. Так как углы в эту формулу не входят, то можно считать, что любые приосевые лучи пройдут через точку S₁.
Если падающие лучи будут находится на значительном расстоянии от главной
оптической оси, то они не пересекутся в одной точки. (изображение будет размытым). Возникнет продольная и поперечная аберрации. На практике применяют не сферические, а параболические зеркала, которые не имеют подобных недостатков. Однако решение задач с параболическими зеркалами значительно сложнее, поэтому для упрощения решения задач будем считать все лучи приосевыми.
Рассмотрим более детально построение в сферических зеркалах. При построении изображения любой точки источника в сферическом зеркале нет надобности рассматривать много лучей. Для этого достаточно построить два луча; точка их пересечения определит местоположение изображения. Удобнее всего построить те лучи, ход которых легко проследить.

Для построения изображений в сферическом зеркале будем пользоваться следующими правилами:
1. Лучи, параллельные главной оптической оси, после отражения пройдут через
фокус.
2. Лучи, проходящие через фокус, выходят из зеркала параллельно главной
оптической оси.
3. Лучи параллельные побочной оптической оси пересекаются в точке, лежащей на
фокальной плоскости.
4.Лучи, проходящие через оптический центр, после отражения пойдут по той жепрямой.
5. Луч, отраженный в полюсе зеркала, после отражения пойдет симметрично
падающему, относительно главной оптической оси.

Для построения изображения в сферическом зеркале можно воспользоваться любой парой этих лучей. Ход этих лучей в случае отражения от вогнутого зеркала изображен на рисунке: 

Рассмотрим лучи, вышедшие из точки S₂ , т.е построим изображение этой точки:

Луч 1 проходит через центр зеркала (точку С) и поэтому нормален к поверхности зеркала. Этот луч возвращается после отражения точно назад по падающему лучу.

Луч 2 параллелен главной оптической оси зеркала. Этот луч  после отражения проходит через фокус зеркала (точка фокуса находится посредине радиуса, отрезка СР, т.е. фокусное расстояние равно половине радиуса F= R/2).

Луч 3, который от точки объекта S₂ проходит через фокус зеркала. После отражения от зеркала он идет параллельно главной оптической оси.

Луч 4, падающий на зеркало в его полюсе, отразится назад симметрично по отношению к главной оптической оси согласно закона отражения.

 

Построив изображения достаточного числа точек протяженного объекта, можно составить представление о положении изображения всего объекта. В случае простой формы объекта, указанной на рисунке (отрезок прямой, перпендикулярный к главной оси), достаточно построить всего одну точку изображения S^,₂.

Рассмотрим пример построения изображения в выпуклом зеркале. Как было указано ранее, в этом случае получаются всегда мнимые изображения.

Рассмотрим лучи, вышедшие из точки S₂ , т.е построим изображение этой точки:

Луч, который параллелен главной оптической оси зеркала, отразится от поверхности так, что его продолжение пройдёт через фокус зеркала (точку F), который находится посредине радиуса, отрезка СР, т.е. фокусное расстояние равно половине радиуса F= R/2

Луч, который от точки объекта S₂ проходит через фокус зеркала, после отражения от зеркала пройдёт параллельно главной оптической оси. Точка изображения S^,₂ будет лежать на пересечении не самих лучей , а на пересечении их продолжений (штриховые линии).

Правила знаков: Если зеркало выпуклое, то падающие на него лучи будут расходящимися и значит в фокусе пересекутся не сами лучи, а их продолжения. В этом случае фокус считается мнимым и фокусное расстояние в формуле зеркала (или оптическая сила) берутся со знаком "-". Аналогично со знаком "-" берется величина f, если изображение мнимое ( построено не на лучах, а на продолжении лучей, хотя бы одном) и d для мнимого источника. Плоскость, перпендикулярная главной оптической оси и проходящая через главный фокус называется фокальной плоскостью. Все лучи, параллельные какой-нибудь побочной оптической оси, пересекаются в одной точке, лежащей на фокальной плоскости:

Примеры решения задач:

1.Построить изображение предмета АВ, находящегося на расстоянии d от полюса, в вогнутом зеркале, если d больше радиуса зеркала R.

Решение: Для более точного построения используем три луча (можно два): 1) луч, параллельный главной оптической оси (после отражения он пройдёт через фокус); 2) луч, проходящий через фокус (после отражения он пройдёт параллельно главной оптической оси); 3) луч, проходящий через полюс (после отражения он пройдёт под таким же углом как при падении).

Получим изображение уменьшенное и действительное (построено на самих отражённых лучах). Обозначим высоту предмета АВ через H, а высоту изображения h. Увеличением зеркала называют k = h/H. Из рисунка видно, что треугольники АРВ и А'РB' подобны, следовательно h/H=f/d. Поэтому увеличение можно записать, как .

2.Построить изображение предмета АВ, находящегося на расстоянии d от полюса, в вогнутом зеркале. Предмет находится между зеркалом и фокусом.

Решение: Для построения используем два основных луча:1) луч, параллельный главной оптической оси (после отражения он пройдёт через фокус); 2) луч, проходящий через оптический центр зеркала (он пройдёт без изменения). Построив продолжение отражённых лучей, найдём точку их пересечения А' - это изображение точки В. Изображение получилось увеличенное и мнимое (построено на продолжении лучей).

3.Построить изображение предмета АВ, находящегося на расстоянии d от полюса, в выпуклом зеркале. Предмет находится за фокусом.

Решение: Для построения используем два основных луча:1) луч, параллельный главной оптической оси (после отражения он пройдёт через фокус); 2) луч, проходящий через оптический центр зеркала (он пройдёт без изменения). Построив продолжение отражённых лучей, найдём точку их пересечения А₁ - это изображение точки А. Изображение получилось уменьшённое и мнимое (построено на продолжении лучей).

!!! Внимание. Собирающие (вогнутые) зеркала находят применение в качестве рефлекторов в прожекторах и фарах, а также как объективы телескопов-рефлекторов. Основное применение выпуклых зеркал в качестве зеркал заднего обзора на транспорте.

Вернуться к конспектам урока