Проводники можно соединять между собой различными способами:

1. последовательное соединение проводников

R_o =R₁+ R₂+ R₃ - общее сопротивление участка цепи, состоящего из трёх резисторов равно

сумме сопротивлений каждого резистора.

U_o =U₁+ U₂+ U₃ - общее напряжение участка цепи, состоящего из трёх резисторов равно сумме

напряжений на концах каждого резистора.

I_o = I₁= I₂= I₃ - общая сила тока участка цепи, состоящего из трёх резисторов равна силе тока,

проходящему через каждый праводник.

Внимание! Если вместо резисторов последовательно соединят соленоиды (катушки)

L_o =L₁+ L₂+ L₃ - общая индуктивность участка цепи, состоящего из трёх катушек равна сумме

индуктивностей каждой катушки.

1/С_o =1/С₁+1/С₂+ 1/С₃ - величина обратная общей ёмкости участка цепи, состоящего из трёх

конденсаторов равна сумме обратных величин емкостей каждого конденсатора.

2. параллельное соединение проводников

1/R_o = 1/R₁+ 1/R₂+ 1/R₃ + ......- величина обратная общему сопротивлению участка цепи равна

сумме обратных сопротивлений каждого резистора.

U_o =U₁ =U₂= U₃ - общее напряжение участка цепи равно напряжению на каждом резисторе.

I_o = I₁+ I₂+ I₃ - общая сила тока участка цепи равна сумме сил токов на каждом резисторе.

Внимание ! При параллельном соединении проводников сила тока в ветвях цепи обратно пропорциональна их сопротивлениям:

3. Смешанное соединение проводников:

Также существует более быстрый способ расчета общего сопротивления для смешанного соединения. Можно, в соответствии схеме, сразу записывать формулу следующим образом:

• Если резисторы соединяются последоватеьно - складывать.
• Если резисторы соединяются параллельно - использовать условное обозначение "||".
• Подставлять формулу для параллельного соединения где стоит символ "||".

Так это будет выглядеть для схемы 1:

После подстановки формулы параллельного соединения вместо "||":

Формулы для последовательного и параллельного соединения проводников позволяют во многих случаях рассчитывать сопротивление сложной цепи, состоящей из многих резисторов. На рисунке приведен пример такой сложной цепи и указана последовательность вычислений.

Следует отметить, что далеко не все сложные цепи, состоящие из проводников с различными сопротивлениями, могут быть рассчитаны с помощью формул для последовательного и параллельного соединения. На следующем рисунке приведен пример электрической цепи, которую нельзя рассчитать указанным выше методом.

Цепи, подобные изображенной на рисунке, а также цепи с другими видами разветвлений, или цепи, содержащие несколько источников, рассчитываются с помощью правил Кирхгофа.

Рассмотрим примеры расчёта электрических цепей с разными видами соединений проводников.

В общем случае всякую цепь можно рассчитать, используя законы Кирхгофа. Однако эти законы не входят в школьную программу. К тому же, правильно решить систему из большого числа уравнений со многими неизвестными под силу не многим учащимся и этот путь не является лучшим способом тратить время. Поэтому нужно уметь пользоваться методами, позволяющими быстро найти сопротивления и емкости контуров.

Метод эквивалентных схем заключается в том, что исходную схему надо представить в виде последовательных участков, на каждом из которых соединение элементов схемы либо последовательно, либо параллельно. Для такого представления схему необходимо упростить. Под упрощением схемы будем понимать соединение или разъединение каких-либо узлов схемы, удаление или добавление резисторов, конденсаторов, добиваясь того, чтобы новая схема из последовательно и параллельно соединенных элементов была эквивалентна исходной.

Эквивалентная схема – это такая схема, что при подаче одинаковых напряжений на исходную и преобразованную схемы, ток в обеих цепях будет одинаков на соответствующих участках. В этом случае все расчеты производятся с преобразованной схемой.

Чтобы начертить эквивалентную схему для цепи со сложным смешанным соединением резисторов можно воспользоваться несколькими приемами. Мы ограничимся рассмотрением в подробностях лишь одного из них – способа эквипотенциальных узлов.

Этот способ заключается в том, что в симметричных схемах отыскиваются точки с равными потенциалами. Эти узлы соединяются между собой, причем, если между этими точками был включен какой-то участок схемы, то его отбрасывают, так как из-за равенства потенциалов на концах ток по нему не течет и этот участок никак не влияет на общее сопротивление схемы.

Таким образом, замена нескольких узлов равных потенциалов приводит к более простой эквивалентной схеме. Но иногда бывает целесообразнее обратная замена одного узла несколькими узлами с равными потенциалами, что не нарушает электрических условий в остальной части.

Рассмотрим примеры решения задач эти методом.

1. Дана цепь, состоящая из десяти соединённых разными способами резисторов.

R1 = R2 = 0,5 Ом, R3 = 8 Ом, R4 = R5 = 1 Ом, R6 = 12 Ом, R7 = 15 Ом, R8 = 2 Ом, R9 = 10 Ом,

 R10= 20 Ом. Определить общее (эквивалентное) сопротивление цепи.

Решение:

Начнем эквивалентные преобразования схемы с ветви наиболее удаленной от источника, т.е. от зажимов a−g:

Два сопротивления R₉и R₁₀ соединены последовательно. Заменим их на равное сопротивление R_9,10=R₉ + R₁₀= 10+20=30 (Ом).

Сопротивление R_9,10 параллельно сопротивлению R₇ . Заменим этот параллельный участок на

эквавалентное сопротивление

R_7,9,10 =(R₇х R_9,10)/(R₇+ R_9,10) = (15х30)/(15+30)=450/45=10 (Ом).

Сопротивление R_7,9,10 последовательно соединено с R₈, поэтому их сумма будет равна

R_7,8,9,10=R_7,9,10 + R₈= 10+2 = 12 (Ом).

Полученное сопротивление параллельно R₆, поэтому по закону параллельного соединения получим ответ

R_6-10=(R_7-10хR₆)/(R_7-10+R₆) = (12х12)/(12+12) = 6 (Ом).

Сопротивление R_6-10 последовательно соединено с R₅ и R₄, поэтому вычисляем их сумму

R_4-10= R_6-10 + R₅ + R₄= 6+1+1=8 (Ом).

Данное сопротивление параллельно R₃ . Заменим этот параллельный участок на эквавалентное сопротивление

R_3-10= (R_4-10 х R₃)/ (R_4-10 + R₃) = 8 х 8 /(8+8) =4 (Ом).

И, наконец, остался последовательный участок, состоящий из трёх сопротивлений R_3-10,R₂, R₁

Найдём их сумму и получим окончательный ответ: R_1-10 = R_3-10 + R₂ + R₁ =4 + 0,5 +0,5 = 5(Ом).

Итак, поэтапное упрощение схемы привело к нахождению общего сопротивление данной цепи, состоящей из 10 сопротивлений. Ответ 5 Ом.

2. Дана цепь (рис.а). R1 = R2 = R3 = R4= 40 Ом. Найти её сопротивление.

Первое, что мы сделаем, это преобразуем (упростим для лучшего понимания) цепь (рис.б). После преобразования видим что все сопротивления параллельны, а так как они ещё и одинаковы, то используем закон параллельного соединения для сопротивлений:

где R – величина сопротивления, Ом;

n – количество параллельно соединенных сопротивлений. Получим Рассмотрим ещё более сложную цепь.

3. Определить эквивалентное (общее) сопротивление относительно зажимов a–b, если R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 10 Ом  (рис.  а).

Решение

Преобразуем соединение  (квадратик из трёх сопротивлений R₅, R₄,R₂ между точками f, d, c в «треугольник» f−d−c (в эквивалентную „звезду“ )- нарисована штриховой линией . И получим более простую, понятную схему. Определяем величины преобразованных сопротивлений (рис. б).

По условию задачи величины всех сопротивлений равны, а значит:

На преобразованной схеме получили параллельное соединение ветвей между узлами e–b, тогда эквивалентное сопротивление равно:

И тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы представляет последовательное соединение сопротивлений:

Рассмотрим пример олимпиадных задач.

4. Рассчитать общее сопротивление металлической бесконечной сетки, если сопротивление каждого ребра одинаково и равно 20 Ом, а сетку подключают к источнику в точках A и B.

Решение:

Пусть ток входит в т. А и выходит из т.В. Войдя в т. А ток разделяется на четыре одинаковых потока, каждый из которых равен I/4 ( в т.А соединены 4 проводника), в т. В эти 4 тока сходятся и снова образуют ток силой I. Для решения этой задачи можно использовать приём, который называется "суперпозиция схем". Схему, где в узел А входит ток, а из узла В выходит ток, можно представить как сумму (суперпозицию) 2-х схем: в 1 схеме, ток войдя в узел А растекается из него по всей бесконечной сетке, во 2 схеме весь ток стекается в узел В и выходит из него.

Из симметрии сетки видно, что в каждой из этих схем по четырём ближайшим рёбрам течёт ток I/4, а это значит что по ребру АВ течёт ток равный I_AB = I_общ/2 = I_общ/4 + I_общ/4.

Так как всю сетку можно представить как параллельное соединение трёх частей, верхнюю от ребра АВ, нижнюю и само ребро АВ. По законам параллельного соединения общее сопротивление стремиться к значению меньше наименьшего из суммы всех сопротивлений, т.е. к значению меньше 20 Ом, сопротивлению ребра АВ. Тогда по закону Ома U_общ =U_AB = R_АВ I_AB= 20I_АВ

Отсюда получим R_общ = U_общ / I_общ = 20I_АВ /I_общ = 20I_общ / 2 I_общ = 10 Ом.

Вернуться к конспектам урока