1. (РЦТ 2014/2015 111 этап В12) Проволочное кольцо радиусом r = 2см и массой m = 98,6мг, изготовленное из проводника сопротивлением 30мОм, находится в неоднородном магнитном поле, проекция магнитной индукции которого на ось ОХ имеет вид  В_x = kx, где k = 3Тл/м, х - координата. В направлении оси ОХ кольцу ударом сообщили начальную скорость, модуль которой 1м/с. Какое расстояние пройдёт кольцо до остановки, если плоскость кольца во время движения была перпендикулярна оси ОХ? Решение:

При движении кольца магнитный поток, пронизывая площадь, ограниченную кольцом, изменяется по закону .

В начальной точке движения (т.О) В = 0, знатит в кольце нет тока и нет ЭДС. В конечной точке, магнитная индукция В_max = kx и ток принимает максимальное значение. Из закона Ома этот ток можно найти как отношение ЭДС индукции к сопротивлению проводника

где . В итоге, соединив две эти формулы, выразим максимальное значение тока.

Теперь запишем закон сохранения энергии для начальной и конечнечной точек положения кольца: изменение кинетической энергии происходит за счёт изменения магнитной энергии (действия силы Ампера со стороны магнитного поля иначе говоря: работа, которую совершает сила Ампера равна изменению кинетической энергии и изменению потенциальной энергии магнитного поля, взятой со знаком минус).

Конечная скорость и начальное значение силы тока равны нулю, поэтому получим

. Подставив значения Ф - магнитного потока и значение максимальной силы тока - I_max, получим:, откуда выразим и расчитаем х, ноторая и будет значением пути, который пройдёт кольцо до остановки= 0,208 м = 21 см. Ответ: 21 см

2. (РЦТ 2015/2016 111 этап В11) Электрон движется в вакууме в однородном магнитном поле, модуль магнитной индукции которого В = 1,8 мТл, по дуге окружности радиусом R = 30мм. После вылета из магнитного поля электрон попадает в однородное электростатическое поле и движется в нём по направлению силовой линии поля. Если модуль напряжённости электростатического поля Е =0,85 кВ/м, то до остановки электрон пройдёт путь s, равный..... (см)

Решение:

На электрон в магнитном поле действует сила Лоренца F_л, которая по второму закону Ньютона равна произведению массы электрона m_э на центростремительное ускорение a_ц: F_л = m_эa_ц.

Подставив формулы силы Лоренца F_л= Bqv и центростремительного ускорения a_ц= v²/R,

получим равенство BqR = m_эv (В - вектор магнитной индукции, на рисунке он направлен перпендикулярно движению скорости лектрона; q - заряд электрона, равен 1,6 10^-19Кл; R - радиус окружности, по которой движется электрон; v - скорость движения электрона по окружности). Выразим скорость v = BqR /m_э. С этой скоростью v = v₀ электрон влетает в электростатическое поле напряжённостью Е, в котором начинает действовать сила Кулона и тормозит электрон ( электрон движется по направлению силовых линий от "+" к "-", а сила Кулона днеправлена от "-" к "+", т.е в противоположную сторону). Так как сила Кулона создаёт тормозящий эффект, то по второму закону Ньютона F_к = m_эa , где сила Кулона F_к= Еq, а ускорение a = v²/2s, где s - путь (перемещение), который проходит электрон до остановки.

Подставив две данные формулы, получим Еq = m_эv²/2s, подставив значение скорости из уравнения v = BqR /m_э, получим Е= qR²В²/2m_эs, отсюда выразим путь s = qR²В²/2m_эЕ, подставим и получим s = 0,3м = 30 см. Ответ: 30 см.

3. (РЦТ 2015/2016 111 этап В12)Электрическая цепь состоит из источника постоянного тока с ЭДС, равной 12В, двух резисторов R₁ = 5 Ом, R₂ = 3 Ом, идеальной катушки с индуктивностью L = 5мГн и конденсатора C = 2 мФ (см. рисунок). В начальный моментвремени ключ К был замкнут и в цепи протекал постоянный ток. Если внутренним сопротивлением источника и потерями энергии на излучение электромагнитных волн пренебречь, то после размыкания ключа К на резисторе R₁ выделится количество теплоты Q₁, равное.....мДж.

Решение: При замкнутом ключе, когда по цепи, изображённой на схеме, течёт постоянный ток, работает только участок с резистором R₂ и катушкой, т.к. конденсатор представляет собой разрыв участка цепи с резистором R₁. Так как внутренним сопротивлением можно пренебречь, то по закону Ома, I = 4A. Хотя через участок цепи с конденсатором ток не течёт, но на конденсаторе накапливается электрическая энергия , где U - это напряжение на конденсаторе и оно равно напряжению на резисторе R₂, а оно равно ЭДС. Следовательно данная формула примет вид. Когда ключ размыкают, в катушке возникает индукционный ток и накапливается магнитная энергия . В итоге в цепи накапливается полная энергия (1). После того как ключ разомкнут, вся накопленная энергия на катушке и конденсаторе выделяется в виде тепловой жнергии на резисторах, поэтому (2), где Q₁ - тепловая энергия, выделившаяся на первом резисторе, Q₂ - на втором резисторе: Разделив последние формулы друг на друга, получим формулы для расчёта Q₁ и Q₂: (3);

(4). Подставим формулы (1) и (3) в формулу (2), силу тока вычислили выше, и получим:, . Отсюда получим . Подставив все значения, получим Q₁= 115мДж. Ответ 115мДж.

4. (ЦТ-2014, Вариант 1, В12, )

В однородном магнитном поле, модуль индукции которого В = 0,5 Тл, находятся два длинных вертикальных проводника, расположенные в плоскости, перпендикулярной линиям индукции (см. рис.). Расстояние между проводниками l = 8см. Проводники в верхней части подключены к конденсатору, емкость которого С = 0,25Ф. По проводникам начинает скользить без трения и без нарушения контакта горизонтальный проводящий стержень массой m = 0,5г. Если электрическое сопротивление  всех проводников пренебрежимо мало, то через промежуток времени t = 0,45c после начала движения стержня заряд q конденсатора будет равен … мКл.

Решение:
Изначально на стержень действует лишь сила тяжести, под действием которой стержень приходит в движение. Однако движение стержня приводит к тому, что изменяется площадь контура, который замыкается стержнем, а значит, изменяется и магнитный поток вектора индукции магнитного поля через контур. Это приводит, в соответствие с законом Фарадея, к возникновению ЭДС индукции в контуре. Возникающая ЭДС, в свою очередь, заряжает конденсатор, перемещая заряды с одной пластины на другую. Перемещающиеся заряды создают ток через стержень, в результате чего на стержень начнёт действовать сила Ампера, которая совместно с силой тяжести влияет на движение стержня.

Когда стержень только начнёт двигаться, то уже через малый промежуток времени на концах стержня возникнет ток. Смещение стержня приведет к увеличению площади контура. Тогда за время t произойдет изменение магнитного потока через контур На основании закона Фарадея в контуре возникает ЭДС индукции: E_i = BlV (1) , при этом данная E_i = U_c= q/C (2) равна разности потенциалов на конденсаторе. Из этих уравнений получим q = BlVC (3). Возникшая ЭДС в соответствие с правилом Ленца направлена так, чтобы возникающий ток препятствовал своим магнитным полем нарастанию потока через контур. Таким образом, в нашем случае ЭДС индукции действует по часовой стрелке. Значит по правилу левой руки сила Ампера будет направлена вверх:

Тогда второй закон Ньютона в проекции на ось ОУ для стержня примет вид

mg - F_A = ma, подставив значение силы Ампера получим mg - IBl = ma. Зная что сила тока определяется формулой , где согласно формуле (3) . Получим

Подставив эту формулу для силы тока в уравнение второго закона Ньютона, получим

mg = IBl + ma, mg = B²l²Са + ma. Выразим из этой формулы ускорение . Зная, что V=V₀ + at (начальная скорость равна нулю), получим формулу для скорости и подставим её в уравнение (3), чтобы вычислить заряд на пластинах конденсатора= 0,025Кл = 25мКл. Ответ: 25мКл.

IВернуться к темам