Решение задач. Кинематика

    Внимание! Прежде чем приступить к решению задач по любой теме НЕПРЕМЕННО прочтите и уясните некоторые советы и указания. Это то, о чём учитель постоянно повторяет, проговаривая решение очередной задачи, но ведь часто эти советы вы не записываете, может быть даже и не выслушиваете, пропуская всё мимо ушей. Поэтому большая часть объяснений очень быстро вылетает из головы и вы, приходя домой, обнаруживаете, что не не знаете, как решать задачи из домашнего задания, хотя в классе вроде бы всё было понятно. Так вот, здесь, я попытаюсь дать подробные пояснения и советы к решению многих наиболее типичных задач.

    Совет первый: основные законы физики, формулы зывисимости и формулы определяющие ту или иную физическую величину нужно заучить наизусть и знать что означает и как называется каждая величина в этой формуле.

    Совет второй: Нужно не зубрить, а учить наизусть и понимать что учишь (например: перемещение равно произведению скорости на время в течение которого оно совершилось s = vt, если со скоростью 5м/с тело двигалось 20с. Вы должны понимать что скорость 5м/с означает то, что за 1 каждую секунду тело проходит 5м, если таких секунд 20, то 20 раз по 5м получится 100м). Не надо бояться, что у вас плохая память, плохая память как дряблые мышцы, чем больше тренируешся, тем они крепче. Просто учить надо постепенно, а не всё за один, два вечера.

    Совет третий: Чтобы задейстовать и зрительную память повесьте большой лист бумаги там, где вы чаще всего находитесь и записывайте на него только те формулы, жирным, крупным шрифтом, которые вы уже точно выучили и хорошо знаете. И так до тех пор пока там не окажуться все формулы по теме. Затем рядом повесьте второй лист и так далее, каждый лист на новую тему. Пробегайте глазами все формулы, например когда ужинаете, если они на стене кухни, или перед сном, если они на стене вашей спальни.

    Совет четвёртый: Если вы хорошо запрмнили формулы, то поработайте над их преобразованиями, вы должны научиться определять (выражать из формулы) все величины из правой части и старайтесь запомнить то, как вы это делаете. Самые обидные ошибки математические.

    Совет пятый: Если задача трудная, то разберите каждый этап решения, которое я для вас составила, повторите это решение, может быть несколько раз, пока точно будете знать как решается данный тип задачи. Помните задачи могут состоять из похожих этапов и даже записываются одинаковыми законами, но величины, которые в них находим могут быть разными (например автобус тормозит 10с, нужно найти его начальную скорость. Равноускоренно движется электрон, найти нужно его скорость через 10с. В перврм случае Fтр= ma = mv/t, подставив вместо силы трения её формулу Fтр=мmg можно найти начальную скорость автобуса. Для второго случая Fэ= ma = mv/t, подставив вместо силы электрической Fэ=Eq, можно найти скорость электрона).

    А теперь перейдём к подробнуму решению задач по Кинематике и так по порядку по всем темам.

  1. Со станции вышел товарный поезд, идущий со скоростью 20 м/с. Через 10 минут в том же направлении вышел экспресс, скорость которого 30 м/с. На каком расстоянии (в км) от станции экспресс нагонит товарный поезд?

    2. Решение: Время будем отсчитывать от момента старта товарного поезда, а коотдинаты поездов от станции (от точки О). За 10 минут товарный поезд прошёл расстояние l1, а экспресс только начал своё движение из точки О. Через некоторое время экспресс, пройдя путь до точки Х догонит товарный поезд, который тоже окажется в этой же точке (смотри рисунок).

    zad1

    Составим уравнения движения для двух поездов Х1 = V1t; Х2 = V2(t - t0) , так как в точке встречи у поездов будет одинаковая координата, то Х1 = Х2, тогда V1t = V2(t - t0). Из последнего уравнения выражаем t и подставив в уравнение координаты (в любое из двух) получим Х = 36000 м = 3,6 км. Ответ 3,6 км
  2. С подводной лодки, погружающейся равномерно, испускаются звуковые импульсы длительностью 30,1 с. Длительность импульса, принятого на лодке после отражения от дна, равна 29,9 с. Определите скорость погружения лодки, если скорость звука в воде 1500 м/с.

    3. Решение: За время t1 испускания импульса, лодка при погружении переместилась на расстоянии Vt1, поэтому расстояние в воде между началом импульса и его концом равно l =Vзвt1 - Vt1. Такая длина сигнала сохраняется и после отражения от дна. Приём импульса закончится в тот момент, когда лодка встретится с задним концом импульса. Поскольку скорость их сближения равна Vзв + V, то продолжительность приёма равна k_zad1, выразив из формулы V- скорость погружения лодки, получим V= 5м/с. Ответ 5 м/с

  3. Сколько секунд пассажир, стоящий у окна поезда, идущего со скоростью 54 км/ч, будет видеть проходящий мимо него встречный поезд, скорость которого 36 км/ч, а длина 150 м?

    Решение: Систему отсчёта свяжем с первым поездом. В этой системе отсчёта пассажир (наблюдатель) неподвижен, а скорость встречного поезда найдём из закона сложения скоростей V21 = V1 + V2 = 36 + 54 = 90км/ч = 25 м/с (от направления оси ОХзависит только знак проекции, но не модуль относительной скорости). Время наблюдения пассажиром поезда определим как отношение длины проходящего поезда к относительной скорости: t = l / V21= 150 / 25 = 6c. Ответ 6с

  4. Эскалатор метрополитена, двигаясь равномерно, поднимает неподвижно стоящего на нём пассажира в течение одной минуты. По неподвижному эскалатору пассажир, двигаясь равномерно, поднимается за 3 минуты. Сколько секунд будет подниматься пассажир по движущемуся а) вверх эскалатору, б) по движущемуся вниз эскалатору?

    Решение: Запишем формулу пути, который проходит пассажир для всех трёх случаев движения используя закон сложения скоростей:

    l = t1Vэ - движется эскалатор, поднимая стоящего на нём пассажира.

    l = t2Vn - пассажир поднимается по неподвижному эскалатору. а) l = t3 ( Vп+ Vэ) - пассажир поднимается по движущемуся вверх эскалатору. б) l = t4(Vп - Vэ) - пассажир поднимается по движущемуся вниз эскалатору.

    Решая две системы из трёх уравнений каждая: а) Vэ = l /t1 ; Vn = l /t2 ; ( Vп+ Vэ) = l /t3 и

    б) Vэ = l /t1 ; Vn = l /t2 ; ( Vп- Vэ) = l /t4 , получим а) l /t3 = l /t2 + l /t1 и б) l /t3 = l /t2- l /t1 . Сократим обе части на l и подставив вместо первого и второго времени их значения получим а) 1 /t3 = 1 /3 + 1 /1 и б) 1 /t4= 1 /32- l / 1. Расчёты дают результат t3 = 3/4 мин = 45с, t4 = - 3/2 мин, что говорит о том что человек со своей скоростью никогда не поднимется по движущемуся вниз эскалатору, поэтому ответ б) не возможен. Ответ а) 45с нужно на то чтобы эскалатор поднял движущегося по нему человека вверх.

  5. Самолёт летел со скоростью 48 м/с относительно ветра. С какой скоростью относительно Земли будет лететь самолёт, если подует западный ветер со скоростью 14 м/с?

    Решение: рисунок показывает как направлены векторы скорости самолёта и ветра

    zad5

    form1= 50м/с. Ответ: 50 м/с

  6. При скорости ветра, равной 10 м/с, капли дождя падают под углом 30o к вертикали. При какой скорости капли дождя будут падать под углом 60o к вертикали.

    Решение: построим векторный треугольник скоростей ветра и капель дождя. zad6 zad6_2

  7. На первом рисунке дождь падает на Землю под углом 30o, а на втором рисунке угол падения стал 60o. В обоих случаях скорость дождя относительно ветра одинаковая (вертикальный вектор). На первом рисунке вектор скорости ветра лежит напротив угла 30o, это значит что диагональ (вектор скорости дождя относительно Земли ) имеет длину 20 м/с (в два раза больше катета). По теореме Пифагора собственная скорость дождя будет равна 17,3 м/с. Из второго треугольника катет скорости ветра будет равен 17,3 tg 60o = 30 м/с. Ответ 30 м/с.

  8. Из пункта А в пункт В выехал автомобиль с постоянной скоростью V1 = 60 км/ч. Спустя время 15 мин из пункта В в пункт А выехал велосипедист с постоянной скоростью V2 = 20 км/ч.

    а) Напишите закон движения автомобиля и велосипедиста считая, что начало координат находится в пуекте А, а начало отсчёта времени - выезд автомобиля.

    б) Определите место и время встречи аналитическим и графическим способами. Расстояние меэду пунктами А и В 115 км.

    Решение: переведём время в часы: 15 мин = 0,25 ч. Автомобиль и велосипедист движутся в системе связвнной с Землёй. Изобразим на рисунке движение этих тел

    zad7

    х01 = 0, V1x= V1 - начальная координата и проекция скорости автомобиля,

    х02 = l, V2x= - V2 - начальная координата и проекция скорости велосипедиста. Уравнения движения этих тел с учётом того, что велосипедист выехал на 0,25ч позже, имеют вид:

    х1 = х01+ V1t ; х2 = х02+ V2(t-0,25), с учётом условия х1 = V1t ; х2 = l + V2(t-0,25). В момент встречи координаты тел будут равны х1 = х2.

    Подставив, получим V1t = l + V2(t-0,25). Решая это выражение относительно t получим время встречи равное 1,5ч. Место всречи вычислим подставляя время встречи в любое их двух уравнений движения х1 = 60 * 1,5 = 90 км. Ответ 1,5ч, 90 км.

    Вторую часть задачи можно решить построив графики движения двух тел, используя их уравнения:

    ris_zad7

    Из графика видно, что автомобиль и велосипедист встретятся через 1,5ч, в точке с координатой 90 км. Такой метод решения ( с помощью графика) называется графическим методом.

  9. Водитель легкового автомобиля начинает обглнять грузовик при скорости 90 км/ч в тот момент времени, когда расстояние между машинами S1 = 20м, и переходит (перестраивается) в прежний ряд, когда расстояние между машинами стало S2 = 15м. Определите время, за которое водитель автомобиля обогнал грузовик, движущийся со скоростью 72 км/ч. Длина легкового автомобиля L1 = 5м, грузового - L2 = 10м.

    Решение: Систему отсчёта свяжем с Землёй, а положительное направление оси ОХ - с направлением движения автомобилей. Переведём скорость в основные единицы измерения V1= 25 м/c, V2 = 20 м/c.

    ris_zad8

    Автомобиль движется относительного грузовика со скоростью V12 = V1 - V2. С этой скоростью автомобиль пройдёт путь L = L1+ L2 + S1 + S2. Время обгона найдём из формулы t = L / V12, подставив вместо L и V12 их формулы и значения всех величин, получим t = 10 с. Ответ: 10с.

  10. Два катера вышли одновременно из точек А и В, расположенных на противоположных берегах реки, и двигались по прямой АВ, длина которой 1200 м. Прямая АВ образует угол 600 c направлением скорости течения, которая равна 2 м/с. Скорость движения катеров относительно воды одинаковы. На каком расстоянии от пункта А произойдёт встреча катеров, если они встретились через 3 мин после отхода от причалов?

    Решение: Свяжем неподвижную систему отсчёта с течением реки.

    ris_zad9

    Учитывая, что скорость катеров относительно течения реки V1 одинакова по величине, получим BD = AD = V1t. Треугольник ADB - равнобедренный, точка О делит АВ пополам. Высота DО перпендикулярна АВ, следовательно АО = ОВ = l/2, т.е. один и тот же отрезок АВ можно выразить и через отрезки ВС и СА: АВ = l = BC + CA = l1 + l2. Из треугольника DСО получим ОС = DСcosa, где DС перемещение элемента течения реки со скоростью U1 за время t : DС = U1 t . Тогда ОС = U1 t cosa. Из рисунка видно что АС = АО - ОС. Подставив значения вместо АО и ОС, получим АС = l/2 - U1 t cosa = 1200/2 - 2*180*0,5 = 420 м. Это и есть расстояние от т. А, на котором встретятся каткра. Ответ: 420м.

  11. Фермер находится в колосистом поле в точке А, как показано на рисунке, и хочет попасть к себе домой в точку С. Известно, что при движении в любом направлении по колосистому полю скорость фермера равна V1 = 5,0 км/ч, а при движении по проселочной дороге BC его сорость равнаV2 = 7,0 км/ч. По какой траектории фермер быстрее всего доберется домой?

    Решение: По какой бы траектории фермер не двигался, часть пути ему будет необходимо
    преодолеть по полю. Достичь какой-либо точки E на поле из точки A быстрее всего будет, конечно же, по прямой, так как в этом случае длина пути минимальна. Далее, если в какой-то момент времени фермер оказался на проселочной дороге, то дальше ему, очевидно, выгоднее идти домой в точку C именно по ней, так как скорость движения фермера по дороге выше, чем по полю. Таким образом, оптимальная траектория фермера может быть только отрезком AC по полю или состоять из отрезка AE до некоторой точки E на дороге и отрезка EC по дороге (рисунок ). Обе описанных траектории можно свести к движению по ломаной AEC, точка E которой находится на дороге на некотором расстоянии X от точки B. В предельном случае движения только по полю Xmax = BC = 2,0 км.

    ris_zad10

    Определим, при каком расстоянии x время движения будет минимально. Для этого напишем выражение для этого времени:
    t = AE/V1 + EC/V2, или, найдя расстояние АЕ и ЕС и подставив в формулу для определения времени, получим form10 (1).
    Здесь мы ввели обозначения d = AB = 600 м, l = BC = 2,0 км. Для определения минимального времени посчитаем производную t´(x) и приравняем ее к нулю:
    forrn11(2)
    Отсюда:
    form12
    Математически равенство нулю не гарантирует то, что полученный результат является
    точкой минимума функции, а лишь указывает на наличие экстремума. Впрочем, минимум функции t(x) должен явно существовать на участке x > 0 из физических соображений, а формула (2) дает единственную возможную ситуацию расположения такого минимума.
    Отметим, что этот же результат можно было получить не используя аппарат вычисления
    производной. Для этого выражение (1) можно преобразовать к виду квадратного уравнения относительно переменной x. Такое уравнение не должно иметь корней для случая t < t min, так как «быстрее минимального времени» до дома добраться нельзя. Пограничный случай t = t min тогда будет соответствовать ситуации, когда дискриминант описанного квадратного уравнения равен нулю. Выполнение этого требования путем математических преобразований приводит к тому же результату (2).
    Таким образом получаем ответ. Для наиболее быстрого пути домой фермеру необходимо
    двигаться вначале по полю по прямой к точке E, расположенной на дороге на расстоянии x0 = 612 м от точки B, а затем по проселочной дороге до дома в точке C. Другими словами, фермер должен двигаться по полю под углом a = arctg d/x0= 44,4° к дороге, а дальше продолжить движение к дому по ней.

  12. По прямому шоссе со скоростью V1=16м/с движется автобус. Человек находится на расстоянии а = 60м от шоссе и на расстоянии с = 400 м от автобуса. В каком направлении должен бежать человек со скоростью V2= 4м/с, чтобы выйти к какой-либо точке шоссе одновременно с автобусом или раньше него?

    ris_zad12

    Решение: Вдоль оси Ох движется Автобус (А), на расстоянии а от шоссе находится человек (В). Если человек будет бежать вдоль отрезка ВС (перпендикулярно шоссе), то ему понадобится время f21, Автобус прибудет в эту точку через время f22. Вычислив и сравним эти два значения времени t1 = 15с, t2= 24,8с , получим что человек окажется в точке с раньше Автобуса

    Чтобы выйти к шоссе одновременно с Автобусом, человек должен выйти к точке Е или к точке D, время движения Автобуса и человека при этом должно быть равным:f23. Из теоремы синусов для тр-ка АЕВ,где уголbetta - это угол ВАЕ: f24 .

    Из прямоугольного треугольника АСВ определим угол f25.

    Учитывая выражения (3), (4) и (5), получим f26 или

    f27. Значит направление движения человека можно определить углом, который лежит в пределах f28

  13. Расстояние от Солнца до Земли в 390 раз больше расстояния от Луны до Земли. 
    Луна совершает 13 обращений вокруг Земли в течение года. Считая орбиты Земли и 
    Луны приблизительно круговыми, определите отношение масс Земли и Солнца.

    Решение:

    zad13

    Для решения используются две формулы: формула периода  f1_zad13 и формула скорости движения спутника вокруг планеты f2_zad13 Подставив формулу скорости в формулу периода, получим f3_zad13. Где М – масса тела,  вокруг которого движется спутник,  R – радиус орбиты спутника.

    Для Солнца и Земли: f4_zad13.

    Для Луны и Земли: f5_zad13.

    По условию период вращения Луны вокруг Земли в 13 раз меньше периода вращения Земли вокруг Солнца, поэтому f6_zad13. Возведём левую и правую часть выражения в квадрат и выразим отношение масс Солнца и Земли:f7_zad13. Ответ: в 351000 раз.


    Вернуться к темам

О сайте|Разработчики
fizmatushki © 2019
e-mail:fizmatushki@yandex.ru