Решение олимпиадных задач. Кинематика

(Задание 1 "Разминка" часть 1. III этап олимпиады, 11 класс 2015/2016 г.)
Фермер находится в колосистом поле в точке А, как показано на рисунке, и хочет попасть к себе домой в точку С. Известно, что при движении в любом направлении по колосистому полю скорость фермера равна V₁= 5,0 км/ч, а при движении по проселочной дороге BC его сорость равнаV₂= 7,0 км/ч. По какой траектории фермер быстрее всего доберется домой? Расстояние АВ равно 600м, а расстояние ВС = 2 км.
Решение: По какой бы траектории фермер не двигался, часть пути ему будет необходимо
преодолеть по полю. Достичь какой-либо точки E на поле из точки A быстрее всего будет, конечно же, по прямой, так как в этом случае длина пути минимальна. Далее, если в какой-то момент времени фермер оказался на проселочной дороге, то дальше ему, очевидно, выгоднее идти домой в точку C именно по ней, так как скорость движения фермера по дороге выше, чем по полю. Таким образом, оптимальная траектория фермера может быть только отрезком AC по полю или состоять из отрезка AE до некоторой точки E на дороге и отрезка EC по дороге (рисунок ). Обе описанных траектории можно свести к движению по ломаной AEC, точка E которой находится на дороге на некотором расстоянии X от точки B. В предельном случае движения только по полю Xmax = BC = 2,0 км.

Определим, при каком расстоянии x время движения будет минимально. Для этого напишем выражение для этого времени:
t = AE/V₁ + EC/V₂, или, найдя расстояние АЕ и ЕС и подставив в формулу для определения времени, получим (1).
Здесь мы ввели обозначения d = AB = 600 м, l = BC = 2,0 км. Для определения минимального времени возьмём производную функции времени t´(x) и приравняем ее к нулю:
(2)
Отсюда:

Математически равенство нулю не гарантирует то, что полученный результат является
точкой минимума функции, а лишь указывает на наличие экстремума. Впрочем, минимум функции t(x) должен явно существовать на участке x > 0 из физических соображений, а формула (2) дает единственную возможную ситуацию расположения такого минимума.
Отметим, что этот же результат можно было получить не используя аппарат вычисления
производной. Для этого выражение (1) можно преобразовать к виду квадратного уравнения относительно переменной x. Такое уравнение не должно иметь корней для случая t < t min, так как «быстрее минимального времени» до дома добраться нельзя. Пограничный случай t = t min тогда будет соответствовать ситуации, когда дискриминант описанного квадратного уравнения равен нулю. Выполнение этого требования путем математических преобразований приводит к тому же результату (2).
Таким образом получаем ответ. Для наиболее быстрого пути домой фермеру необходимо
двигаться вначале по полю по прямой к точке E, расположенной на дороге на расстоянии x₀ = 612 м от точки B, а затем по проселочной дороге до дома в точке C. Другими словами, фермер должен двигаться по полю под углом a = arctg d/x₀= 44,4° к дороге, а дальше продолжить движение к дому по ней.
По прямому шоссе со скоростью V₁=16м/с движется автобус. Человек находится на расстоянии а = 60м от шоссе и на расстоянии с = 400 м от автобуса. В каком направлении должен бежать человек со скоростью V₂= 4м/с, чтобы выйти к какой-либо точке шоссе одновременно с автобусом или раньше него?

Решение: Вдоль оси Ох движется Автобус (А), на расстоянии а от шоссе находится человек (В). Если человек будет бежать вдоль отрезка ВС (перпендикулярно шоссе), то ему понадобится время , Автобус прибудет в эту точку через время . Вычислив и сравним эти два значения времени t₁ = 15с, t₂= 24,8с , получим что человек окажется в точке с раньше Автобуса
Чтобы выйти к шоссе одновременно с Автобусом, человек должен выйти к точке Е или к точке D, время движения Автобуса и человека при этом должно быть равным:. Из теоремы синусов для тр-ка АЕВ,где угол - это угол ВАЕ: .
Из прямоугольного треугольника АСВ определим угол .
Учитывая выражения (3), (4) и (5), получим или
. Значит направление движения человека можно определить углом, который лежит в пределах

Вернуться к темам