1. Задача 10-1 (III тур РО). Акселерометр

   Для измерения модуля ускорения бруска, движущегося по горизонтальной поверхности вдоль оси , используется простейший акселерометр, представляющий собой тонкую U – образную трубку (рис. 1), закреплённую на бруске и заполненную водой (слабовязкой несжимаемой жидкостью). Расстояние между вертикальными достаточно высокими коленами трубки  значительно больше её диаметра, оба её конца открыты в атмосферу. В состоянии покоя уровни воды в коленах трубки находятся на одинаковой высоте   от поверхности бруска (см. рис. 1).
   Принцип работы прибора прост: при движении бруска в положительном направлении оси уровни воды в коленах  акселерометра изменяются: в одном из них вода поднимается на определенную высоту , а в другом – опускается на такую же величину.

   1. «Равномерное движение» Брусок движется достаточно большое время в положительном направлении оси с постоянной скоростью . Нарисуйте схематически  положение уровней воды в каждом из колен акселерометра при таком движении и найдите, на какую величину  изменится уровень воды в каждом из них по отношению к состоянию покоя.

   2. «Равноускоренное движение» Брусок движется достаточно большое время в положительном направлении оси с постоянным ускорением . Нарисуйте схематически  положение уровней воды в каждом из колен акселерометра при таком движении и найдите, на какую величину  изменится  уровень воды в левом вертикальном колене по отношению к состоянию покоя. Постройте схематический график зависимости   от ускорения .
   Ускорения могут настолько большими, что одно из колен может оказаться пустым.
   
   3. «Плохой стеклодув» Неопытный мастер изготовил «бракованный» акселерометр, у которого одно вертикальное колено исчезло, а горизонтальное колено длины оказалось запаянным с одного конца (рис. 2).
   3.1 Найдите давление   воды в месте изгиба трубки (точка 1, см. рис. 2) и давление у её запаянного конца (точка 2) при движении «бракованного» акселерометра в положительном направлении оси с ускорением ? Атмосферное давление .
   3.2 Чему будут равны эти давления, если ускорение направлено в
   противоположную сторону.
   3.3 Пусть , . Оцените при каком ускорении  (укажите и направление этого ускорения) вода сможет вылететь из трубки. Атмосферное давление нормальное, температура – комнатная.

   Решение:

   1. «Равномерное движение». Из принципа относительности Галилея следует, что в этом случае уровни воды в трубках не изменяться .
   2. «Равноускоренное движение»  

   Разность сил давления в трубках должна обеспечивать ускорение воды в горизонтальном колене
   .              (1)
   Это будет справедливо, пока , Т.е. при .
   При большем ускорении правая вертикальная трубка окажется пустой. Пусть высота столба в вертикальном колене равна , тогда на горизонтальном участке находится столб воды . Уравнение его ускоренного движения имеет вид
                        (2)
   Откуда следует
   .                                                  (3)

   Схематический график показан на рисунке: сначала прямая линия, потом начинает загибаться и стремиться к предельному значению

   Другой способ решения задачи заключается в переходе в систему отсчета, связанную с самой трубкой. В этой системе отсчета эффективное ускорение  равно . Свободная поверхность жидкости перпендикулярна этому вектору.

   3. «Плохой стеклодув»
   
   Основная идея решения остается прежней: разность сил давления в крайних точках создает необходимое ускорение воды.
   Поэтому в данном случае:
   3.1 В точке 1 давление атмосферное плюс гидростатическое:
                                                    (4)
   В точке 2
                                                     (5)
   3.2 При изменении направления ускорения  достаточно поменять знак в формуле (5)
   .                                                             (6)
   3.3 При отрицательном направлении ускорения столб воды может разорваться. Это значит, что вода закипит. Так как при комнатной температуре давление насыщенных паров значительно меньше атмосферного, то можно считать, что столб воды разорвется, если в его крайней точке давление станет равным нулю. Тогда из уравнения (6) следует (для оценки можно пренебречь и гидростатическим давлением) .

   Возможны и такие оценочные рассуждения: в поле тяжести земли разрывается под действием собственного веса столб воды высотой в 10 м, чтобы разорвался столб воды высотой в 1 м ускорение должно быть в 10 раз больше ускорения свободного падения.

2. Задача 11-1 Почти ЦТ: два бруска и веревочка! (III тур РО)

   На горизонтальной поверхности покоятся два одинаковых бруска, масса каждого равна. Коэффициент трения брусков о поверхность равен . Бруски связаны «веревочкой», масса которой равна  (и сравнима с массой брусков). Бруски находятся в состоянии покоя на максимально возможном расстоянии друг от друга.
   1. Под каким углом   к горизонту направлена веревка в месте крепления ее к брускам?
   2. Чему равна сила натяжения веревки в точке крепления?
   3. К одному из брусков прикладывают постоянную горизонтально направленную силу . Какую силу минимальную  следует приложить, чтобы сдвинуть один брусок?
   Какую силу  следует приложить, чтобы сдвинуть два бруска?

   Решение:

   Условия равновесия веревки:
                                                                      (1)
   Условия предельного положения грузов:
   .                                                               (2)
   Из этих уравнений находим
                         (3)
   Чтобы сдвинуть брусок
   
   

    

   Решая с учетом (3), получаем
                                 (4)
   Очевидный результат – приложенная сила должна быть больше, чем суммарная сила трения, действующая на систему.
   Чтобы сдвинуть второй
                                                          (5)
   Но, , подставляя в (5), получаем то же условие (4). Т.е. в данном случае сдвинуть один брусок нельзя – сразу сдвинуться оба. 

Вернуться к темам