1. Задание 1. "Разминка", часть 2, РО III этап 2016, 11 класс.
Камень теплоемкостью C = 3200 Дж/°C нагрели до температуры T₁ = 150 °С. Другой такой же камень охладили до температуры T₂ = 0 °С. После этого данные камни стали использовать в качестве нагревателя и холодильника тепловой машины, рабочим телом которой является одноатомный идеальный газ. Покажите, что после каждого цикла работы машины произведение температур камней остаётся постоянным. Какую работу сможет совершить такая тепловая машина в лучшем случае?

Решение: Максимальный КПД тепловой машины достигается при осуществлении рабочим телом цикла Карно. Для совершения машиной максимально возможной работы будем считать, что процесс состоит именно из таких циклов Карно. При этом рабочее тело на каждом цикле будет забирать теплоту у нагревателя и отдавать холодильнику, то есть температура камней будет изменяться. Процесс с совершением работы уже не сможет происходить, когда температуры камней сравняются. Пусть после очередного цикла температура горячего камня равна T_гор, а холодного – T_хол. В течение одного последующего цикла температура горячего камня изменится на ΔT_гор, передав рабочему телу теплоту Q_пол = –СΔT_гор. (Знак «минус» учитывает тот факт, что температура горячего камня уменьшается ΔT_гор < 0 – камень охлаждается). Температура же холодного камня изменится на ΔTхол, получив от рабочего тела теплоту Q_отд = СΔT_хол. КПД данного цикла такой тепловой машины можно рассчитать следующим образом:



С другой стороны, если процесс осуществляется по циклу Карно, то формула кпд будет иметь вид, где температуры выражены по шкале Кельвина. Сравнивая два выражения для КПД, получаем:. Преобразуем данное уравнение и используем примечание в условии задачи такая связь температур говорит о том, что в ходе всего процесса будет сохраняться их произведение: T_гор T_хол= const. Обозначим конечную температуру обоих камней Tк тогда, зная начальные их температуры, данный процесс можно изобразить на графике Р(V):



По графику, если , то данное выражение можно записаит в виде . Подставив начальные значения температур горячего и холодного камней, найдём значение конечной температуры, 339,8 К (66,8⁰C). Пренебрегая теплоемкостью рабочего тела – газа по сравнению с теплоемкостью камней, то есть пренебрегая изменением внутренней энергии газа за весь процесс, можем записать второе начало термодинамики и определить искомую максимально возможную работу:. После подстановки и вычисления, получим значение работы 52,3 кДж. Ответ: 52,3 кДж

2. Задание 1. "Разминка", часть 1, РО III этап 2016, 10 класс.

Детские надувные аттракционы (например, «Воздушный замок») представляют собой гибкие и эластичные сосуды «причудливых» форм и некоторого предельного объёма, в которые под давлением подаётся воздух. Для нормальной работы аттракциона давление воздуха в нем должно быть не очень большим (станет «твёрдым») и не очень маленьким (дети будут проваливаться). Электронасос обеспечивает подачу воздуха внутрь аттракциона в течение всего времени его работы. Атмосферное давление p₀ = 1,0 10⁵Па.
Считайте, что газовые процессы являются изотермическими, молярная масса воздуха равна M= 29г/моль. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с² . Молярная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(мольК) .
1.1. «Время накачки» Рассмотрим сравнительно небольшой аттракцион внутренний объём (вместимость) которого V₁ = 1,0 10²м³ , а рабочее давление воздуха внутри него p₁= 2,5 10⁵ Па . Летним солнечным днём при температуре t = 27⁰C механик Федя за час до начала работы аттракциона решил развернуть его и накачать до рабочего давления при помощи небольшого (автомобильного) поршневого электронасоса, имеющего объём всасывающей камеры V₂ = 1,0 10³cм³. Поршень насоса делает N = 10 качаний (полных ходов) за секунду. Найдите массу m_в воздуха, необходимого для работы аттракциона.
Успеет ли Федя к открытию аттракциона?
1.2 «Скорость накачки» В процессе медленной накачки надувной аттракцион медленно
приподнимается и расправляется до необходимого размера. Будем считать, что в процессе накачки аттракцион можно представить в виде тонкостенного цилиндра площади поперечного сечения S = 5,0м² , в котором может без трения перемещаться тяжелый горизонтальный поршень массы M = 500кг (т.е. «Воздушный замок»). Найдите зависимость высоты h подъёма поршня от времени t накачки. Постройте график полученной зависимости h(t) . Найдите скорость v движения поршня при работе насоса. Мощный насос имеет объём всасывающей камеры V₃ = 1,0 10⁴cм³. Поршень насоса делает N = 10 качаний (полных ходов) за секунду.



Решение 1.1: За одно качание насос захватывает из атмосферы массу m₁ воздуха, попавшую в его открытую засасывающую камеру объёмом V₂ при атмосферном давлении p₀ . Из
уравнения состояния идеального газа Клапейрона–Менделеева получим

(1). Для нормальной работы аттракциона необходима масса воздуха m_в, которую найдём из уравнения идеального газа для всего объёма аттракциона (2). Как видим из (2), масса воздуха в аттракционе представляет собой достаточно значительную величину, для закачки которой скорее всего потребуется значительное время. Поскольку насос равномерно (по массе) закачивает воздух, то механику Феде потребуется время для полной накачки. Масса закаченного воздуха в аттракцион равна произведению массы воздуха в закачивающей камере на число закачиваний за время t: (3). Подставим вместо массы m₁ и массы m_в формулы (1) и (2), получим формулу, которая позволит найти время закачки:

(4). Как следует из (4) механик Федя никак не успеет к открытию аттракциона – нужно всё делать загодя (или поменять насос!). Действительно, таким насосом необходимо накачивать практически целый рабочий день, поскольку он рассчитан на обслуживание небольшого объема камеры автомобиля (
V₃= 60л). Справедливости ради заметим, что все надувные аттракционы непрерывно подкачиваются в течение рабочего дня для компенсации утечки воздуха. Ответ 6,9 ч.
Решение 1.2: Будем считать, что в процессе накачки поршень поднимается равномерно
(т.е. находится в состоянии равновесия, смотри рисунок).



Тогда давление под ним остаётся постоянным и равным (5), что соответствует изобарному процессу. Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева можем записать (6), где . После подстановки выразим высоту h поршня от массы закачанного газа m и получим выражение:

(7). Согласно выражению (7) высота поднятия поршня прямо пропорциональна массе закачанного в цилиндр газа. Согласно (3) через насос за время t пройдёт масса воздуха (8). Следовательно, зависимость высоты h поднятия поршня от времени t при накачке имеет вид

(9). График полученной зависимости – прямая пропорциональность, поскольку h(t) ~ t, т.е. h(t) = vt (10). Сравнивая выражения (9) и (10) видно, что скорость движения поршня вверх равна коэффициенту пропорциональности в данной формуле, т.е. . После подстановки получим 2 см/с. Ответ 2см/с.

Задание 1. "Разминка", часть 2, РО III этап 2016, 10 класс.

«Газировка». В высоком цилиндрическом сосуде находится газированная вода – вода насыщенная углекислым газом. Сосуд закрыт подвижным поршнем. Когда поршень примыкает к поверхности жидкости давление в сосуде равно P₀ . Известно, что объем, который бы занимал углекислый газ (будучи в газообразном состоянии), содержащийся в газировке при давлении P₀ равен V₀. Поршень начинают медленно приподнимать. Найдите зависимость давления газа в сосуде от его объема V . Объем жидкости в сосуде V_L считайте неизменным, температура также остается постоянной. Постройте точный график (с оцифровкой осей) полученной зависимости (подберите для этого соответствующие относительные переменные).


Подсказка: растворимость газа в жидкости пропорциональна внешнему давлению (закон Генри). Растворимость g – количество газа (в молях), растворенного в единице объема насыщенного раствора.

Решение: Количество газа, растворенного в воде, находится по формуле ,где обозначено g - растворимость углекислого газа в воде при данной температуре, v₀- первреачаотное количество газа. Пусть в начальный момент времени весь этот углекислый газ находится в газообразном состоянии, при этом он бы занимал объем, который мы сможем найти из уравнения Менделеева-Клапейрона

. Выразим из этой формулы объёмПусть через некоторое время объем газа под поршнем стал равным V , а его давление - р. При этом давлении часть газа растворилась в в воде и количество растворенного газа стало равно. Следовательно, в газообразном состоянии останется v газа:молей углекислого газа. Для определения давления этого, оставшегося не растворённым, газа следует решить уравнение Менделеева-Клапейрона:. Раскроем скобки, найдём подобные и выразим давление нерастворённого газа. Заменим числитель и второе слагаемое знаменателя и получим. Получили зависимость давления от объёма нерастворённого газа: (*)- это выражение отражает обратнопропорциальная зависимость , графиком которой является гипербола




Не трудно предположить что, если в начальный момент времени весь газ был в нерастворённом состоянии, то р = р₀, тогда их соотношение будет равно 1, а V =0 ( изформулы (*), и т.д. При построении графика нужно рассмотреть ситуации при разных соотношениях объёмов и давлений



Ответом является построенный график и формула (*).

Задание 2. "Средние скорости", РО III этап 2016, 10 класс.

Вернуться к темам